11 Mayıs 2014 Pazar

Özel Üçgenler : Dik üçgen – İkizkenar Üçgen – Eşkenar Üçgen

Özel üçgenler kpss geometri konusu içinde önemli bir yer kaplamaktadır. Üçgenlerle ilgili Kpss’de çıkan soruların çoğunda özel üçgenlerle ilgili teoremler ön plana çıkmaktadır. Özel üçgenler konusu dik üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen olarak işlenecektir. Genelde teoremleri ya da formülleri ezbere dayalı olsa da, geometri sorularını çözerken mantık da ön plana çıkmaktadır. Konuyla ilgili bol soru çözümüyle beraber formüller daha rahat akılda kalmaktadir. Ayrıca bol soru çözümüyle özel üçgenler ile ilgili kpss soru tiplerini de daha rahat kavrayabilirsiniz.

Özel Üçgenler

Kpss geometri Özel üçgenler konusu dik üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen olmak üzere üçe ayrılır. İlk olarak Dik üçgen, pisagor teoremi ve öklid teoremi ile başlayalım.

Dik Üçgen

kpss dik üçgenÖzel üçgenler içinde yer alan Dik üçgen, bir açısı dik olan üçgenlere denir. Dik üçgende en uzun kenara hipotenüs denir. Diğer kenarlara da dik kenarlar denir.
a= Hipotenüs  b ve c= Dik Kenar

* Dik Üçgenin Özellikleri:
Kpss geometri dersine ait dik üçgenin birçok özelliği bulunmaktadır. Bu özelliklerin içinde pisagor teoremi ve öklid teoremi de yer almaktadır. Şimdi bu özellikleri sıralayalım.
  • pisagor teoremi   Pisagor Teoremi:
{b^2} = {a^2} + {c^2} Bu teoreme göre hipotenüsün karesi, diğer dik kenarların karesinin toplamına eşittir. Kpss geometri sorularında genelde kullanılan bazı dik üçgen katları vardır. Bunlar;
3n, 4n, 5n üçgeni, 5n, 12n, 13n üçgeni, 7n, 24n, 25n üçgeni, 8n, 15n, 17n üçgeni gibi sorularda kalıplaşmış dik üçgen çeşitleri karşımıza çıkmaktadır.

  • kpss muhteşem üçlü  Muhteşem Üçlü: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir. Buna geometri dersinde muhteşem üçlü denir.
{V_a} = \frac{a}{2}
  • kpss dik kenar  Bir ikizkenar üçgende hipotenüsün uzunluğu dik kenarın \sqrt 2  katıdır.



  • kpss öklid teoremi  Öklid Teoremi: Bu teorem dik üçgenler içinde önemli bir yer kaplamaktadır ve birçok kpss üçgen sorusunun kısa yoldan çözülmesine olanak sağlamaktadır. Öklid teoremi uygulanabilmesi için dik bir üçgende hipotenüse ayrı bir dik (h) inmesi gerekmektedir. Öklid teoremi ile ilgili formüller aşağıda listelenmiştir.
\begin{array}{l}{h^2} = p.k\\{c^2} = p.a\\{b^2} = k.a\\a.h = b.c\\\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\end{array}




  • 30 60 90 üçgeni  90-60-30 Üçgeni: Bir dik üçgende dar açılardan biri 30 ise, 30 derecelik açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısında eşittir. 60 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğu da 30 derecelik açı karşısındaki kenarın \sqrt 3  katına eşittir.


  • hipotenüs yükseklik  Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü 15 derece ise, hipotenüs uzunluğu hipotenüse ait yüksekliğin 4 katıdır.


  • dik üçgenin özelliği  P ve K üçgenin içinde herhangi iki nokta olmak üzere;
|PK{|^2} + |BC{|^2} = |BK{|^2} + |PC{|^2}


Özel üçgenler içinde yer alan dik üçgen ile ilgili özellikler tamamlanmıştır. Şimdi özel üçgenler içinde yer alan ikizkenar üçgen konusuna bakalım.

İkizkenar Üçgen

kpss ikizkenar üçgenÖzel üçgenler içinde, iki kenarı eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denmektedir.  Yandaki ikizkenar üçgene göre;
A: Tepe noktası
a: Taban uzunluğu
m(A): Tepe açısı olarak adlandırılmaktadır.
  • Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.
|AB| = |AC| = > m(\hat B) = m(\hat C)
  • İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, kenarortay ve açıortay uzunlukları eşittir.
{h_a} = {V_a} = {n_a}
  •    kpss paralel ikizkenar
|AB| = |AC|
[PK]//[AB]
[PL]//[AC]
|PK| + |PL|| = b = c
  •  ikizkenar dik üçgen kpss
Bir ABC ikizkenar üçgeninde;
[PK] \bot [AC]
[PL] \bot [AB]
|PK| + |PL| = {h_b} = {h_c}

 Eşkenar Üçgen

Özel üçgenler içinde yer alan eşkenar üçgen tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgendir.
kpss eşkenar üçgen
|AB| = |BC| = |AC|
m(\hat A) = m(\hat B) = m(\hat C) = {60^ \circ }


  • Eşkenar üçgende bütün yükseklik, kenarortay ve açıortay uzunlukları eşittir.
{h_a} = {n_A} = {V_a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}
  • Bir eşkenar üçgenin iç bölgesinde herhangi bir yerinden alınan bir noktadan, kenarlara inilen dikmelerin toplamı yüksekliğine eşittir.
kpss eşkenar dik üçgen
[DP] \bot [AB]
[PF] \bot [AC]
[PE] \bot [BC]
h = |PD| + |PF| + |PE|
  • Kpss genel yetenek geometri dersi özel üçgenler içinde yer alan bir eşkenar ğçgenin içinde alınan herhangi bir P noktasından kenarlara çizilen paralellerin uzunlukları toplamı eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğuna eşittir.
kpss eşkenar paralel
a = |PD| + |PF| + |PE|


  • Bir eşkenar üçgende ağırlık merkezi, çevrel ve içteğet çemberinin merkezi aynı noktatadır. Bu nokta aynı zamanda yüksekliklerin ve iç açıortayların da kesim noktasıdır.
kpss eşkenar üçgen çember

h=3r
R=2r


Kpss genel yetenek geometri dersine ait özel üçgenler ; dik üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen konuları tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss geometri dersinin konusuÜçgenin Alanı olacaktır.
Gönderen zaman:

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder

Kaydol: Kayıt Yorumları (Atom)